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Antonio Carlos Garcia, Prof.Garcia � autor de dez livros.

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Professores: Leiam todos os coment�rios dos ou entre os conte�dos. Estes s�o inerentes para a sua pr�tica educativa, como tamb�m destacam o crit�rio da sele��o de conte�dos do Ensino M�dio.

As tr�s s�ries do Ensino M�dio trazem em si um projeto de forma��o dos alunos. Por exemplo, em todas as disciplinas da �rea, os temas de estudo da primeira s�rie deveriam tratar do entorno das informa��es que cercam os alunos, numa vis�o contextualizada, colocando-os em contato com as primeiras id�ias e procedimentos b�sico para ler e interpretar situa��es simples.

CONJUNTOS -

Tradicionalmente o Ensino de Fun��es estabelece como meta inicial o estudo dos n�meros reais e de conjuntos e suas opera��es para depois definir rela��es e a partir da� identificar as fun��es como particulares rela��es. Todo esse percurso �, abandonado assim que a defini��o de fun��o � estabelecida, pois para a an�lise dos diferentes tipos de fun��es todo o estudo relativo a CONJUNTOS E RELA��ES � desnecess�rio. Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente pela no��o de fun��o para descrever situa��es de depend�ncia entre duas grandezas, o que permite o estudo a partir de situa��es contextualizadas, descritas alg�brica e graficamente. (PCN+, Ensino M�dio p 121)

FUN��ES

As FUN��ES EXPONENCIAL E LOGAR�TMICA, por exemplo, s�o usadas para descrever a varia��o de duas grandezas em que o crescimento da vari�vel independente � muito r�pido, sendo aplicada em �reas do conhecimento como matem�tica financeira, crescimento de popula��es, intensidade sonora, pH de subst�ncias e outras. A resolu��o de equa��es logar�tmicas e exponenciais e o estudo das propriedades de caracter�sticas e mantissas podem ter sua �nfase diminu�da e, at� mesmo, podem ser suprimidas. (PCN+ p 121)

SEQ��NCIAS NUM�RICAS

Com rela��o �s seq��ncias, � preciso garantir uma abordagem conectada � id�ia de fun��o, na qual as rela��es com diferentes fun��es possam ser analisadas. O estudo da progress�o geom�trica infinita com raz�o positiva e menor que 1 oferece talvez a �nica oportunidade de o aluno estender o conceito de soma para um n�mero infinito de parcelas, ampliando sua compreens�o sobre a adi��o e tendo a oportunidade de se defrontar com as id�ias de converg�ncia e de infinito. Essas id�ias foram e s�o essenciais para o desenvolvimento da ci�ncia, especialmente porque permitem explorar regularidades.

Associar �s seq��ncias seus gr�ficos e relacionar os conceitos de seq��ncia crescente ou decrescente aos correspondentes gr�ficos permite ao aluno compreender melhor as id�ias envolvidas, ao mesmo tempo em que d� a ele a possibilidade de acompanhar o comportamento de uma seq��ncia sem precisar decorar informa��es. (PCN+p 118)

PROGRESS�O ARITM�TICA

PROGRESS�O GEOM�TRICA

GEOMETRIA PLANA:

Semelhan�a e congru�ncia; representa��es de figuras.

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTAT�STICA:

Descri��o de dados, representa��es gr�ficas.

2� s�rie_EM

Na segunda s�rie, j� poderia haver uma mudan�a significativa no sentido de que cada disciplina mostrasse sua dimens�o enquanto Ci�ncia, com suas formas caracter�sticas de pensar e modelar fatos e fen�menos.

TRIGONOMETRIA -

do tri�ngulo ret�ngulo; do tri�ngulo qualquer; da primeira volta.

Apesar de sua import�ncia, tradicionalmente a TRIGONOMETRIA � apresentada desconectada das aplica��es, investindo-se muito tempo no c�lculo alg�brico das identidades e equa��es em detrimento dos aspectos importantes das fun��es trigonom�tricas e da an�lise de seus gr�ficos. O que deve ser assegurado s�o as aplica��es da trigonometria na resolu��o de problemas que envolvem medi��es, em especial o c�lculo de dist�ncias inacess�veis e para construir modelos que correspondem a fen�menos peri�dicos. Dessa forma, o estudo deve se ater �s fun��es seno, cosseno e tangente com �nfase ao seu estudo na primeira volta do c�rculo trigonom�trico e � perspectiva hist�rica das aplica��es das rela��es trigonom�tricas. Outro aspecto importante do estudo deste tema � o fato desse conhecimento ter sido respons�vel pelo avan�o tecnol�gico em diferentes �pocas, como � o caso do per�odo das navega��es ou, atualmente, na agrimensura, o que permite aos alunos perceberem o conhecimento matem�tico como forma de resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo.

Ainda neste tema, � poss�vel alargar e aprofundar o conhecimento dos alunos sobre n�meros e opera��es, mas n�o isoladamente dos outros conceitos, isto �, pode-se tratar os n�meros decimais e fracion�rios, mas mantendo de perto a rela��o estreita com problemas que envolvem medi��es, c�lculos aproximados, porcentagens, assim como os n�meros irracionais devem se ligar ao trabalho com geometria e medidas. � ainda importante para o aluno, nessa etapa de sua forma��o, o desenvolvimento da capacidade de estimativa da ordem de grandeza de resultados de c�lculo ou medi��es e da capacidade de tratar com valores num�ricos exatos ou aproximados de acordo com a situa��o e o instrumental dispon�vel.

MATRIZES

DETERMINANTES

SISTEMAS LINEARES

Com rela��o � �lgebra, h� ainda o estudo de Equa��es Polinomiais e de Sistemas Lineares. Esses dois conte�dos devem receber um tratamento que enfatize sua import�ncia cultural, isto �, estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolu��o de equa��es de primeiro e segundo graus e sobre a resolu��o de sistemas de duas equa��es e duas inc�gnitas para sistemas lineares 3 por 3, aplicando esse estudo � resolu��o de problemas simples de outras �reas do conhecimento. Uma abordagem mais qualitativa e profunda deve ser feita dentro da parte flex�vel do curr�culo, como op��o espec�fica de cada escola.

Resumidamente, em rela��o �s compet�ncias a serem desenvolvidas pela Matem�tica, a abordagem proposta para esse tema permite ao aluno usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transforma��es, buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento hist�rico e tecnol�gico de parte de nossa cultura e adquirir uma vis�o sistematizada de parte do conhecimento matem�tico.

AN�LISE COMBINAT�RIA

PROBABILIDADE

Estat�stica, Contagem e Probabilidade.

Uma das grandes compet�ncias propostas pelos PCNEM diz respeito � contextualiza��o s�cio-cultural como forma de aproximar o aluno da realidade e faze-lo vivenciar situa��es pr�ximas que lhe permitam reconhecer a diversidade que o cerca e reconhecer-se como indiv�duo capaz de ler e atuar nesta realidade.

A Matem�tica do ensino m�dio pode ser determinante para a leitura das informa��es que circulam na m�dia e em outras �reas do conhecimento na forma de tabelas, gr�ficos e informa��es de car�ter estat�stico. Contudo, espera-se do aluno nessa fase da escolaridade que ultrapasse a leitura de informa��es e reflita mais criticamente sobre seus significados.

Assim, o tema proposto deve ir al�m da simples descri��o e representa��o de dados, atingindo a investiga��o sobre esses dados e a tomada de decis�es.

ESTAT�STICA E PROBABILIDADE lidam com dados e informa��es em conjuntos finitos e utilizam procedimentos que permitem controlar com certa seguran�a a incerteza e mobilidade desses dados. Por isso, a Contagem ou an�lise combinat�ria � apenas parte instrumental desse tema.

Da mesma forma, a Probabilidade acena com resultados poss�veis, mas n�o exatos.

Ao afirmar que o resultado 1 tem 1/6 de probabilidade no lan�amento de um dado, n�o h� certeza de que em seis lan�amentos do dado o n�mero 1 sair� exatamente uma vez.

A CONTAGEM ou AN�LISE COMBINAT�RIA, ao mesmo tempo em que possibilita uma abordagem mais completa da probabilidade por si s�, permite tamb�m o desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matem�tica denominada racioc�nio combinat�rio. Ou seja, decidir sobre a forma mais adequada de organizar n�meros ou informa��es para poder contar os casos poss�veis n�o deve ser aprendido como uma lista de f�rmulas, mas como um processo que exige a constru��o de um modelo simplificado e explicativo da situa��o.

As f�rmulas devem ser conseq��ncia do racioc�nio combinat�rio desenvolvido frente � resolu��o de problemas diversos e devem ter a fun��o de simplificar c�lculos quando a quantidade de dados � muito grande. Esses conte�dos devem ter maior espa�o e empenho de trabalho no ensino m�dio, mantendo de perto a perspectiva da resolu��o de problemas aplicados para se evitar a teoriza��o excessiva e est�ril. Espera-se que assim o aluno possa se orientar frente a informa��es de natureza estat�stica ou probabil�stica.

PROBABILIDADE: possibilidades; c�lculo de probabilidades.

3a. S�rie_EM

A terceira s�rie ampliaria os aprendizados das s�ries anteriores com temas mais abrangentes que permitissem ao aluno observar e utilizar um grande n�mero de informa��es e procedimentos, aprofundando sua compreens�o sobre o que significa pensar em Matem�tica e utilizar os conhecimentos adquiridos para an�lise e interven��o na realidade.

MATEM�TICA FINANCEIRA

ESTAT�STICA

A ESTAT�STICA e a PROBABILIDADE devem ser vistas, ent�o, como um conjunto de id�ias e procedimentos que permitem aplicar a Matem�tica em quest�es do mundo real, mais especialmente aquelas provenientes de outras �reas. Devem ser vistas tamb�m como formas de a Matem�tica quantificar e interpretar conjuntos de dados ou informa��es que n�o podem ser quantificados direta ou exatamente. Cabe � Estat�stica, por exemplo, analisar a inten��o de voto em uma elei��o ou o poss�vel �xito do lan�amento de um produto no mercado, antes da elei��o em si e da fabrica��o do produto. Isso � feito atrav�s da pesquisa estat�stica, que envolve amostras, levantamento de dados e an�lise das informa��es obtidas.

Da mesma forma, a Probabilidade acena com resultados poss�veis, mas n�o exatos.

Ao afirmar que o resultado 1 tem 1/6 de probabilidade no lan�amento de um dado, n�o h� certeza de que em seis lan�amentos do dado o n�mero 1 sair� exatamente uma vez. Assim como ao afirmarmos que determinado tratamento m�dico tem 90% de probabilidade de cura para uma doen�a, n�o garante que em um grupo de 10 pessoas submetidas a este tratamento exatamente uma pessoa continuar� doente.

Estat�stica e Probabilidade lidam com dados e informa��es em conjuntos finitos e utilizam procedimentos que permitem controlar com certa seguran�a a incerteza e mobilidade desses dados.

Por isso, a Contagem ou An�lise Combinat�ria � apenas parte instrumental desse tema.

GEOMETRIA ESPACIAL

Geometria espacial: Elementos dos poliedros, sua classifica��o e representa��o; s�lidos redondos; propriedades relativas � posi��o: intersec��o, paralelismo e perpendicularismo; inscri��o e circunscri��o de s�lidos.

ENSINAR GEOMETRIA NO ENSINO M�DIO deve possibilitar que essas quest�es aflorem e possam ser discutidas e analisadas pelos alunos.

Os temas devem, ainda, permitir uma articula��o l�gica entre diferentes id�ias e conceitos para garantir maior significa��o para a aprendizagem, possibilitar ao aluno o estabelecimento de rela��es de forma consciente no sentido de caminhar em dire��o �s compet�ncias da �rea e, at� mesmo, tornar mais eficaz a utiliza��o do tempo dispon�vel.

� importante evitar detalhamentos ou nomenclaturas excessivos. Por exemplo, se o �nico caso de fun��es inversas que os alunos ver�o no ensino m�dio forem as fun��es exponencial e logaritmo, n�o h� necessidade de todo o estudo sobre fun��es injetoras, sobrejetoras e invers�veis, assim como se o foco do estudo estiver na an�lise de gr�ficos e nas aplica��es da fun��o logar�tmica, podemos questionar por que estudar cologar�tmos, caracter�stica e mantissa.

Ao selecionar um tema, a forma de trabalho deve ser pensada de modo integrado � sua escolha, evitando repetir o modelo curricular das listas de assuntos enfileirados. As escolhas que ser�o feitas devem ter no horizonte o aluno de cada escola, da� a necessidade de um olhar cuidadoso para esses jovens, indiv�duos cognitivos, afetivos e sociais, que possuem projetos de vida, hist�rias pessoais e escolares. A aprendizagem n�o se d� com o indiv�duo isolado, sem possibilidade de interagir com seus colegas e com o professor, mas em uma viv�ncia coletiva de modo a explicitar para si e para os outros o que pensa e as dificuldades que enfrenta.

Alunos que n�o falam sobre matem�tica e n�o t�m a oportunidade de produzir seus pr�prios textos nessa linguagem dificilmente ser�o aut�nomos para se comunicarem nessa �rea.

GEOMETRIA ANAL�TICA

A unidade Geometria Anal�tica tem como fun��o tratar algebricamente as propriedades e os elementos geom�tricos. O aluno do ensino m�dio ter� a oportunidade de conhecer essa forma de pensar que transforma problemas geom�tricos na resolu��o de equa��es, sistemas ou inequa��es.

O aluno deve perceber que um mesmo problema pode ent�o ser abordado com diferentes instrumentos matem�ticos de acordo com suas caracter�sticas. Por exemplo, a constru��o de uma reta que passe por um ponto dado e seja paralela a uma reta dada pode ser obtida de diferentes maneiras. Se o ponto e a reta est�o desenhados em papel, a solu��o pode ser feita por meio de uma constru��o geom�trica, usando-se instrumentos. No entanto, se o ponto e a reta s�o dados por suas coordenadas e equa��es, o mesmo problema possui uma solu��o alg�brica, mas que pode ser representada graficamente.

Ent�o, mais importante do que memorizar diferentes equa��es para um mesmo ente geom�trico, � necess�rio investir para garantir a compreens�o do que a geometria anal�tica prop�e. Para isso, o trabalho com este tema pode ser centrado em estabelecer a correspond�ncia entre as fun��es de 1� e 2� graus e seus gr�ficos e a resolu��o de problemas que exigem o estudo da posi��o relativa de pontos, retas, circunfer�ncias e par�bolas.

Al�m de conhecer uma forma de pensar em Matem�tica, entender o mundo do s�culo 17, que deu origem ao cartesianismo, pode ser uma excelente oportunidade para que o aluno perceba o desenvolvimento hist�rico do conhecimento e como certos momentos dessa hist�ria transformaram a ci�ncia e a forma de viver da humanidade.

A Geometria, na perspectiva das medidas, pode se estruturar de modo a garantir que os alunos aprendam a efetuar medi��es em situa��es reais com a precis�o requerida ou estimando a margem de erro. Os conhecimentos sobre per�metros, �reas e volumes devem ser aplicados na resolu��o de situa��es-problema.

A composi��o e a decomposi��o de figuras devem ser utilizadas para o c�lculo de comprimentos, �reas e volumes relacionados a figuras planas ou espaciais. Assim, os problemas que envolvem figuras inscritas ou circunscritas podem ser propostos aos alunos no sentido de aplica��o do que aprenderam sobre as diversas medidas.

Relembrando as compet�ncias eleitas por esta proposta, � importante destacar que este tema estruturador pode desenvolver no aluno todas as habilidades relativas a medidas e grandezas, mas pode faz�-lo tamb�m avan�ar na percep��o do processo hist�rico de constru��o do conhecimento matem�tico, e � especialmente adequado para mostrar diferentes modelos explicativos do espa�o e suas formas numa vis�o sistematizada da Geometria com linguagens e racioc�nios diferentes daqueles aprendidos no ensino fundamental com a geometria cl�ssica euclidiana.

Tradicionalmente, a Matem�tica do ensino m�dio trata da amplia��o do conjunto num�rico, introduzindo os N�meros Complexos. Como esse tema isolado da resolu��o de equa��es perde seu sentido para os que n�o continuar�o seus estudos. Ele pode ser tratado na parte flex�vel do curr�culo das escolas.

5. M�TRICA:

�reas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado.